Công thức Nguyên Hàm

Trong giải tích, việc tìm đạo hàm của một hàm số là phép toán ngược lại với việc tính đạo hàm. Các hàm nguyên thủy đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng như tính diện tích, thể tích hay mô hình hóa các hiện tượng vật lý. Bài viết này sẽ hướng dẫn toàn diện về các công thức nguyên hàm, bao gồm các công thức cơ bản, quy tắc tích phân và các mẹo giải các bài toán nguyên hàm thường gặp.

Chức năng đơn giản

Chức năng đặt hàng đầu tiên

• Công thức: $\int ax + b \, dx = \fracx^2 + bx + C$

hàm bậc hai

• Công thức: $\int x^2 + ax + b \, dx = \fracx^2 + bx + C$

Hàm số mũ cơ số e

• Công thức: $\int e^x \, dx = e^x + C$

Hàm logarit cơ số e

• Công thức: $\int \ln x \, dx = x \ln x – x + C$

hàm lượng giác

• Công thức: $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
• Công thức: $\int \cos x \, dx = \sin x + C$

Quy tắc tích phân

Quy tắc tích hợp tổng thể

• Công thức: $\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$

Quy tắc tích phân chênh lệch

• Công thức: $\int (f(x) – g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx – \int g(x) \, dx$

Quy tắc tích hợp liên tục

• Công thức: $\int a \, dx = ax + C$

Quy tắc tích phân phân tách theo từng phần

• Công thức: $\int u \, dv = uv – \int v \, du$

Kỹ thuật tích phân

Phân tích thành từng phần

• Chia hàm số thành các hàm đơn giản hơn, tìm nguyên hàm của từng phần rồi cộng chúng lại với nhau.

Vẽ nhân tử chung

• Loại bỏ nhân tử chung khỏi biểu thức đang lấy tích phân và sử dụng quy tắc tích phân hằng số.

Thay đổi biến

• Đặt $u = g(x)$, sau đó thay đổi giới hạn tích phân theo biến $u$.

Sử dụng bảng nguyên thủy

• Sử dụng bảng nguyên thủy có sẵn để tra cứu các nguyên mẫu phổ biến.

Bài tập thực hành

Tính nguyên hàm của $f(x) = x^2 + 2x + 1$

Giải pháp: Sử dụng công thức nguyên thủy của hàm bậc hai: $\int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \fracx^3 + x^2 + x + C$

Tính nguyên hàm của $f(x) = \sin x + \cos x$

Giải pháp: Sử dụng quy tắc tích phân tổng: $\int (\sin x + \cos x) \, dx = \int \sin x \, dx + \int \cos x \, dx = -\cos x + \sin x + C$

Tính nguyên hàm của $f(x) = xe^x$

Giải: Sử dụng quy tắc tích phân từng phần với $u = x$ và $dv = e^x$ với $v = e^x$ và $du = dx$. $\int xe^x \, dx = xe^x – \int e^x \, dx = xe^x – e^x + C$

Kết luận

Hiểu và áp dụng các công thức nguyên thủy là một kỹ năng thiết yếu trong tính toán. Bằng cách nắm vững các phương pháp được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ có thể giải các bài toán cơ bản phức tạp hơn và mở rộng kiến ​​thức toán học của mình.

Mọi thắc mắc xin vui lòng gửi về sốHotline 09633458xxx hoặc địa chỉ email. [email protected] để được trả lời. Trân trọng!