Công Thức Đạo Hàm: Tổ Hợp Các Quy Tắc, Ví Dụ và Bài Tập

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong toán học, đặc biệt quan trọng trong phép tính vi phân. Nó được định nghĩa là tốc độ thay đổi tức thời của một hàm đối với một biến. Các công thức đạo hàm cung cấp hướng dẫn rõ ràng để tính đạo hàm của nhiều hàm khác nhau. Bài viết này sẽ giới thiệu các công thức đạo hàm phổ biến nhất, bao gồm các quy tắc cơ bản, quy tắc đạo hàm của các hàm hợp, hàm mũ và hàm lượng giác.

Các quy tắc cơ bản của đạo hàm

Đạo hàm của một hằng số

• Công thức: $f(x) = c$
• Đạo hàm: $f'(x) = 0$
• Ví dụ, nếu $f(x) = 5$, thì $f'(x) = 0$.

Đạo hàm của hàm mũ x

• Công thức: $f(x) = x^n$
• Đạo hàm: $f'(x) = n \cdot x^$
• Ví dụ: Nếu $f(x) = x^3$, thì $f'(x) = 3 \cdot x^2$.

Đạo hàm của hàm mũ cơ số a

• Công thức: $f(x) = a^x$
• Đạo hàm: $f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$
• Ví dụ, nếu $f(x) = 2^x$, thì $f'(x) = 2^x \cdot \ln(2)$.

Đạo hàm của hàm logarit cơ số a

• Công thức: $f(x) = \log_a(x)$
• Đạo hàm: $f'(x) = \frac$.

Đạo hàm của hàm tổng và hàm hiệu

• Công thức: $f(x) = u(x) \pm v(x)$
• Đạo hàm: $f'(x) = u'(x) \pm v'(x)$
• Ví dụ, nếu $f(x) = x^2 + 2x$, thì $f'(x) = 2 \cdot x + 2$.

Đạo hàm của hàm hợp

Đạo hàm của hàm hợp của hai hàm

• Công thức: $f(x) = g(h(x))$
• Đạo hàm: $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$
• Ví dụ, nếu $f(x) = \sin(x^2)$, thì $f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x$.

Đạo hàm của một hàm hợp của n hàm

• Công thức: $f(x) = g_n(…(g_2(g_1(x))))$
• Đạo hàm: $f'(x) = g_n'(…) \cdot g_'(…) \cdot … \cdot g_2′(g_1(x)) \cdot g_1′(x)$

Đạo hàm của hàm số mũ

Đạo hàm của tích mũ

• Công thức: $f(x) = u(x) \cdot v(x)$
• Đạo hàm: $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
• Ví dụ: Nếu $f(x) = x^2 \cdot e^x$, thì $f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$.

Đạo hàm của thương mũ

• Công thức: $f(x) = \frac$.

Đạo hàm của các hàm lượng giác

Đạo hàm của sin(x) và cos(x)

• Đạo hàm của sin(x): $f'(x) = \cos(x)$
• Đạo hàm của cos(x): $f'(x) = -\sin(x)$

Đạo hàm của tan(x) và cot(x)

• Đạo hàm của tan(x): $f'(x) = \frac$

Đạo hàm của sec(x) và csc(x)

• Đạo hàm của sec(x): $f'(x) = \sec(x) \cdot \tan(x)$
• Đạo hàm của csc(x): $f'(x) = -\csc(x) \cdot \cot(x)$

Bài tập

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x + 1$.

Giải pháp: $f'(x) = 3x^2 + 4x – 5$.

Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số $g(x) = \sin(2x) + \cos(x)$.

Giải pháp: $g'(x) = 2 \cdot \cos(2x) – \sin(x)$.

Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số $h(x) = \frac$.

Kết luận

Công thức đạo hàm là công cụ thiết yếu để nghiên cứu hàm số và tính toán tốc độ thay đổi tức thời. Bằng cách nắm vững các công thức này, học sinh có thể nắm vững các bài toán liên quan đến đạo hàm, mở rộng kiến ​​thức toán học và áp dụng chúng vào các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và cuộc sống.

Mọi thắc mắc vui lòng gửi về Hotline 09633458xxx hoặc địa chỉ email [email protected] để làm rõ. Trân trọng!